образование

Вывод уравнения стоячей волны

Выберем систе­му координат так, чтобы ось х была направлена вдоль луча бегущей волны и начало О координат совпадало с точкой, находящейся на источнике MN плоской волны (см. рис.)

С учетом этого, уравнение бегущей волны запишется в виде

x1=Acos(wt—kx) (40)

Поскольку в точку с координатой х волна возвратится, прейдя дважды расстояние (l-х), и при отражении от стены, как среды более плотной, изменит фазу на p, то уравнение отраженной волны может быть записано в виде

x2=Acos{wtk[x+2(l—x)]+ p} (41)

После очевидных упрощений получим:

x2=Acоs[wtk (2lх)] (42)

Сложив уравнения (40) для бегущей волны и уравнение (42) для отраженной волны, найдем уравнение стоячей волны:

(43)

x=x1+x2=Acos(wtkx)— Acos[wtk(2l—x)] (44)

Воспользовавшись формулой разности косинусов:

(45)

Найдем

x= -2Asink(l—x)sin(wtkl) (46)

Так как выражение Asink(l—х) не зависит от времени, то, взятое по модулю, оно может рассматриваться как амплитуда стоячей волны:

(47)

- формула для амплитуды стоячей волны
Share
Tags :
06.04.2017